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Herleitung des Black-Scholes-Modells


Idee

Ausgangspunkt des Black-Scholes-Modells ist das Binomialmodell zur Optionspreisbewertung. Kernidee ist, dass die Handelsintervalle immer kürzer werden

Delta t to 0.

ut) und dt) nehmen kontrolliert ab. Die Aktienkursrenditen im diskreten Modell seien binomialverteilt. Sie konvergieren gegen Normalverteilung. Die Aktienkurse sind hingegen in jedem Zeitpunkt logarithmisch normalverteilt.

In der Regel ist eine Schrittzahl von 100 ausreichend mit der Einschränkung exotischer Optionen oder Optionssensitivitäten.

Binomialbaum

Betrachten wir dazu einen Binomialbaum einer Option mit der Laufzeit T. Die Anzahl der möglichen Aktienkurse am Fälligkeitstermin beträgt dann

n + 1 = frac{T}{Delta t} + 1.

Beispiel: Ein Zeitintervall sei eine Stunde. Bei 150 Handelstagen erhalten wir dann 1200 Zeitpunkte. Der Baum sei rekombinierend, d.h. ein Aufeinanderfolgen von up und down Bewegungen führt zum Aktienkurs vor beiden Bewegungen zurück (und vice versa).

u(Delta t) = e^{sigma sqrt{Delta t}}

und

d(Delta t)=frac{1}{u(Delta t)}.

σ sei die Volatilität der Rendite (per annum)

p(ut)) > 0
1 − p(ut)) < 1

 

risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten (u,r,t)

ut) > 1 + rt) > dt)

ist eine No-Arbitrage-Bedingung, wobei r der risikolose Zins ist.

Daraus folgt ein

P(u(Delta t)) = frac{u(Delta t) - e^{rcdotDelta t}}{u(Delta t) - d(Delta t)}.

Es kann gezeigt werden, dass P(ut)) gegen 1/2 strebt wenn Δt gegen 0 geht.

Zentraler Grenzwertsatz

Die Binomialverteilung der Renditen über die Frist T konvergiert gegen eine Normalverteilung. Dies lässt sich aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz ableiten. Eine Binomialverteilung geht bei endloser Wiederholung in eine Normalverteilung über. Obwohl hier keine explizite Wahrscheinlichkeitsannahme getroffen wird, liegt im Grenzübergang eine normalverteilte Rendite vor.

Herleitung der Periodenrendite

S_0 e^{y^~T} = s_0 u(Delta t)^{n-k} cdot d(Delta t)^k

Zum Beispiel

k = 0 rightarrow s_0 u(Delta t)^n

y sei eine zufällige Rendite per annum, die Größe ist normalverteilt mit dem Mittelwert, der dem risikolosen Zinssatz r entspricht. Die Standardabweichung der Periodenrendite sei sigma.

 

Dichte des Aktienkurses

S_t = S_0 e^{y T} ge 0

Der Aktienkurs kann nicht normalverteilt sein, da er nie negativ werden kann.

Lognormalverteilung

Die Renditen sind normalverteilt, wobei gilt, dass

Maximum = Median = Erwartungswert.

Die Aktienkurse hingegen sind lognormalverteilt mit

Maximum < Median < Erwartungswert.

Eine Zufallsgröße ST heißt logarithmisch normalverteilt, wenn ln(ST) normalverteilt ist.

lnST = lnS0eyT = lnS0 + yT,

wobei y normalverteilt ist. Es handelt sich hier um die Rendite.

Beispiele einer Lognormalverteilung:

Sei f(ST) die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs eintritt, sigma^2 cdot T sei die Varianz der Rendite per

mathrm{annum} cdot mathrm{Laufzeit}

Unterschied Variable x taucht im Exponent auf:

frac{S_T}{S_0}
ln(ST / S:0)

folgt einer Normalverteilung mit

(mu_T, sigma^2 cdot T)

wobei μ risikoneutral ist.

Schaubilder Lognormalverteilung

Möglichkeiten den Black-Scholes-Wert eines Calls zu berechnen

 

1. Möglichkeit
C_{0,e} = e^{-rT} int_{0}^{infty} C_t(S_T) f(S_T) dS_t
  • e rT stetige Abzinsung mit r
  • Ct(ST) innerer Wert (wie im Ausübungsdiagramm eines Calls, in the money, wenn über dem Basispreis E)
  • f(ST) logarithmisch normalverteilt

 

= e^{-rT} int_E^{infty}(S_T-E) f(S_T) dS_t
= e^{-rT} int_E^{infty} S_T f(S_T) dS_t - int_E^{infty} E f(S_T) dS_t)
  • e rT Diskontierung
  • STf(ST)dSt Durchschnittlicher Aktienkurs für S_T ge E (positiver Effekt)
  • int_E^{infty} E f(S_T) dS_t = E cdot mathrm{Wahrscheinlichkeit~der~Ausddot{u}bung}
  • das zweite Integral ist mit einem minus versehen, da der Basispreis zu zahlen ist.

 

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March 04. 2017 20:46:10
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