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Modellrahmen


Das Modell basiert auf der Annahme, daß der natürliche Logarithmus des Basiswertes (also z.B. ein Aktienkurs) S einer Option einem sogenannten Wiener-Prozeß folgt, sodaß sich die Aktienpreise analog einer geometrischen Brownschen Bewegung verhalten:

dSt = μStdt + σStdWt.
Entwicklung der Dichte des Aktienpreises mit der Zeit
Entwicklung der Dichte des Aktienpreises mit der Zeit

μ ist dabei die erwartete Rendite eines Unternehmens. Über das Argument der risikoneutralen Bewertung bzw. der Arbitragefreiheit geht μ selbst nicht in die Bewertung ein, sondern der risikofreie Zinssatz r. σ bezeichnet die Volatilität, t die Zeit und dW eine zu sqrt{t} proportionale, normalverteilte Zufallsgröße an. Das Modell nimmt an, daß der Markt Geldanlagen und -aufnahmen zum kontinuierlichen Zinssatz r ohne zusätzliche Kosten (Transaktionskosten) erlaubt.

Ziel ist die Bewertung (Preisbestimmung) eines europäischen Kaufoptionen ("calls") C und Verkaufsoptionen ("puts") P auf den Basiswert S mit einem Ausübungspreis K und einer Restlaufzeit von T.

Preise eines Calls nach Black Scholes
Preise einer Kaufoption ("call option") nach Black Scholes

Die Optionen erbringen am Ende der Laufzeit (in T) die Kapitalflüsse:

CF(T,C) = max(SK,0)

beziehungsweise

CF(T,P) = max(KS,0)

Black und Scholes zeigen in ihrem Artikel, daß unter der Annahme einer konstanten Zins- und Volatilitätsentwicklung die Option durch ein geeignetes Portfolio bestehend aus dem Basiswert S und einer Anlage oder einem Kredit mit dem Zinssatz r dynamisch dupliziert werden kann.

Der Wert der Option muß daher zu jedem Zeitpunkt mit dem Wert des Duplikationsportfolios übereinstimmen.

Der sog. faire Preis der Option kann über verschiedene Argumentationen hergeleitet werden. Er kann als diskontierter Erwartungswert der Auszahlungen in T dargestellt werden, wobei der Erwartungswert bezüglich der Lognormalverteilung zu bilden ist:

C = S0Φ(d1) − Ke rTΦ(d2)
P = Ke rTΦ( − d2) − S0Φ( − d1)

wobei

d_1 = frac{ln(S_0/K) + (r + sigma^2/2)T}{sigmasqrt{T}}
d_2 = d_1 - sigmasqrt{T}

Phi(x) = int_{-infty}^{x}frac{1}{sqrt{2pi}}exp{frac{-z^2}{2}}dz

die Verteilungsfunktion und der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Ein anderer Weg besteht in der Anwendung des Lemmas von Itō und der Annahme der Arbitragefreitheit. Sie führen zu der Black-Scholes-Differentialgleichung:

frac{partial V}{partial t} + rSfrac{partial V}{partial S} + frac{1}{2}sigma^2S^2frac{partial^2V}{partial S^2}=rV.

V bezeichnet hierbei den Wert einer Option. Diese Differentialgleichung ist unter den gegebenen Annahmen für europäische Aktienoptionen gültig.

Nimmt man die Geldflüsse zur Fälligkeit der Option als Anfangswert für die Differentialgleichung, ist die Bewertungsfunktion die Lösung des Anfangswertproblemes.

 

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March 04. 2017 20:46:10
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